Gefälle

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Die Neigung (auch Neigung genannt) ist in der mathematischen Analyse ein Mass für die Steifigkeit einer Gerade oder eines Bogens. Die Problematik der Bestimmung der Neigung ergibt sich nicht nur in der Geometrie, sondern zum Beispiel auch in der Bauphysik oder Ökonomie. Zum Beispiel korrespondiert die Flanke in einem Zeit-Weg Diagramm mit der Drehzahl oder die Flanke in einem Zeit-Ladungs Diagramm mit der Stromwert.

?y{Displaystyle \Delta x} (ausgesprochen: Delta x) bezeichnet die Abweichung der x-Werte, ?y{\displaystyle \Delta y} die Abweichung der zuweisung. Die Neigung resultiert zum Beispiel aus den Werten (1|2){\displaystyle (1|2)} und (3|7){\displaystyle (3|7)}: Dabei ist es unerheblich, von welchen Geradenpunkten aus die Koordinate in die Berechnung eingefügt wird.

Zum Beispiel, wenn Sie (-1|-3){\displaystyle (-1|-3)} und (1|2){\displaystyle (1|2)} nehmen, erhalten Sie: Wenn die Linie ansteigt (in der positiven x-Richtung, von Links nach Rechts gesehen), ist ihre Neigung vorteilhaft. Bei einer fallenden Geraden ist die Neigung nachteilig. Slope 0 heißt, dass die Linie horizontal, d.h. zur x-Achse ist.

Anmerkung: Die Linien parallel zur y-Achse sind keine Funktionsgrafiken und haben daher keinen Gradientenwert. Sie können mit dem Gradienten "unendlich" ausgezeichnet werden (?). Das Gefälle einer Gerade ist auch im Strassenverkehr von Bedeutung. Die Verkehrsschilder für die Neigung oder die Neigung einer Strasse basieren auf dem selben Gradientenbegriff, werden aber in der Regel in Prozenten angegeben.

Beispielsweise erhöht sich bei einem Gefälle von 12 Prozent die Bauhöhe in horizontaler Ausrichtung um 12 auf 100 Metern. Das Höchstgefälle der fast 350 Höhenmeter umfassenden Strecke liegt bei 1:2,86 (19,3° oder ca. 35 %). Dies entspricht einer Neigung von 66.7% und einem Neigungswinkel von arctan(1/1.5) = 33.7°.

Anhand des Gradienten einer Gerade kann mit der Tangenten- und Arcustangensfunktion der entsprechende Gradient oder Steigungswinkel der Gerade relativ zur positiv dargestellten x{\displaystyle x}-Achse berechnet werden: Eine Korrelation aus der Triangulation sagt aus, dass in einem rechteckigen dreieckigen Raum der tangentiale Wert eines der beiden Spitzwinkel gleich dem Verhältnis des entsprechenden Gegen- und Ankatheten ist, wobei deutlich wird, dass die Neigung auch der tangentiale Wert des Neigungswinkels (in Grad) relativ zu der positiv angezeigten x-Achse ist:

Beim Angeben in Prozenten (%) ist zu berücksichtigen, dass die Gradienten und der Gradientenwinkel nicht aufeinander abgestimmt sind, d.h. es ist auch nicht möglich, die Gradienten und den Gradientenwinkel mit einer Dreierregel zu konvertieren. Zum Beispiel entsprechen die Neigung 1 (= 100 %) einem Neigungswinkel von 45°, die Neigung 2 (= 200 %) einem Neigungswinkel von etwa 63,4 und bei einem Neigungswinkel von 90 Grad müßte die Neigung bis unendlich zunehmen.

Die ungefähre Verhältnismäßigkeit von Gradient und Gradientenwinkel ist jedoch nur für kleine Gradientenwinkel bis etwa 5° angegeben - ein Gradient von 0,01 oder 1 Prozent korrespondiert mit einem Gradientenwinkel von etwa 0,57°, und andersherum ein Gradientenwinkel von 1° korrespondiert mit einem Gradient von etwa 0,0175 oder 1,75 Prozent. Rechnerisch erklärt sich dies dadurch, dass die Herleitung der Tangente in 0 gleich 1 ist, d.h. für den Wert von x{\displaystyle x} nahe 0 tan(x)?x{\displaystyle \tan(x)\ x} ist.

Bei größeren Gradientenwinkeln hingegen, oder wenn deren Grösse genau ermittelt werden soll, ist die inverse Funktion der Tangente, d.h. die Arcustangensfunktion, erforderlich: Im oben genannten Beispiel wird berechnet: Bei Negativgradienten muss beachtet werden, dass aufgrund der Punkt-Symmetrie der Arcustangensfunktion die Gradientenwinkel -{\displaystyle \alpha } dann auch negativer werden.

Es gibt zwei parallele Linien (?{\displaystyle \varepsilon } = 0°), wenn ihre Gradienten zusammenpassen. Die Gewindesteigung gibt bei metrischem Gewinde die Gewindesteigung an, d.h. den Weg zwischen zwei Gewindeschritten entlang der Gewindeschneidachse, d.h. den durch eine Gewindedrehung zurückgelegten Achsabstand.

Die örtliche Wasserstandsdifferenz zwischen Ober- und Unterseite wird als Gefälle (oder Arbeitshöhe) bezeichne. Das Absinken des Wasserspiegels zwischen 2 fernen Stellen entlang eines Baches wird auch als Gradient bezeichne. Ein grundsätzliches Problem der Analyse ist es, die Neigung einer Kennlinie in einem vorgegebenen Kennlinienpunkt auszuloten.

Die Steilheit der Kurve einer bestimmten Stelle des Diagramms wird daher als die Steilheit der Tangente in diesem Bereich bezeichnet. Beispiel: Für das Diagramm der Funktionsweise f:x?x-12x3{\displaystyle f:\;x\mapsto 2x^{2}-{\frac {1}{2}}}}x^{3}}} soll die Neigung im Kurvepunkt (2|4){\displaystyle (2|4)} und der entsprechende Steigungswinkel errechnet werden. Der Steigungswinkel errechnet sich aus dem Gefälle: Der Steilheitswert: 1: