Differenzieren

Differenziere 1 - Mathematischer Hintergrund

Differenzrechnung (oder Differentialrechnung) ist eine der großen Leistungen der modernen Mathematik. 2. Die Darstellung einer bestimmten Funktionalität kann grafisch erfolgen, indem die X-Werte auf der waagerechten Ebene und der entsprechende Wert f(x) auf der senkrechten Ebene für jeden X-Wert grafisch aufbereitet werden. Der Satz aller so erzeugten Stützpunkte in der Zeichnungsebene ist die Grafik der jeweiligen Funktionen - in der Regel ist es eine Kennlinie, die die Funktionseigenschaften wiedergibt.

Ist die Vertikalkoordinate mit dem Zeichen y markiert, ist die Grafik die Gesamtheit aller Messpunkte (x, y), für die y = f(x) zutrifft. Beispiel: Die durch f(x) = x2 festgelegte Funktionalität (manchmal auch in der Schreibweise f: x x2) weist jeder Nummer ihr Rechteck zu.

Die Grafik ist eine nach oben geöffnete Parallele, deren Scheitelpunkt in ihrem Ursprungsland ist. Die Neigung einer Gerade in einem xy-Koordinatensystem ist der Quotient aus den Katheterlängen eines Neigungsdreiecks (Dy/Dx). Die Neigung einer mit "15%" markierten Strasse beträgt 0.15 (wobei die y-Achse als senkrecht betrachtet wird).

Wenn eine Gerade durch die Formel y = kx + d vorgegeben ist, d.h. es ist die Kurve der Linearfunktion f(x) = kx + d, dann ist ihr Zuwachs die Kontur k. Es wäre ja nützlich, wenn Sie schon von Grenzwertverläufen und dem Konzept des Grenzwertes erfahren hätten.

Die Steigung einer Gerade ist bekannt - macht es denn überhaupt keinen Unterschied, von der Steigung einer Linie zu reden? Ist es also sinnvoll, über die Ausrichtung und den Verlauf einer Krümmung an einer Stelle zu reden? Ja, das ist sinnvoll, wenn die Krümmung an der Stelle eine Biegung hat.

Wir nennen dann die Kurvenrichtung die Tangensrichtung und den Kurvenanstieg den Tangensanstieg. Wir wollen dies auf die Diagramme einer bestimmten Anwendung übertragen. Seien Sie eine (echte) Aufgabe. Der Ableitungswert von ft an Position x ist der Tangensanstieg an den Kurven von ft am Ort (x, f(x)).

Er wird durch das Zeichen f '(x) gekennzeichnet (ausgesprochen als "f-line of x" oder "f-line at position x"). Anmerkung: Natürlich wird angenommen, dass die Grafik von f im Mittelpunkt (x, f(x)) überhaupt eine Berührungslinie hat. Daher sollte diese Einigung zunächst nicht als eine genaue Festlegung des Konzepts der Herleitung verstanden werden, sondern als die grundlegende Idee, von der wir ausgingen.

Also wissen wir im Grunde, was das Derivat ist. Stellt euch eine gegebene Funktionalität f vor, ihre Grafik wird erstellt, und wir sollten die Herleitung an einer bestimmten Position ermitteln und zwar an einer bestimmten Position 0x0. Zur Lösung dieses so genannten Tangentenproblems steht uns noch keine Methode zur Verfügung, aber um die angestrebte Herleitung annähernd aus dem graphischen Schaubild zu lesen, setzen wir die tangentiale Linie so exakt wie möglich durch den Mittelpunkt (x0, f(x0)) und messen ihren Verlauf mit einem Steigungsdreieck.

Das Derivat ist dann der Quotient d. h. 3/5 oder 0,6 Eine andere Variante wäre, ein Gradienten-Dreieck mit dem Wert 1 zu malen. Mit dem nebenstehenden Programm können Sie diese Verbindung zwischen Herleitung und Tangensanstieg interaktiv durchspielen und den richtigen Gebrauch der neuen Begriffe einüben.

Dieser Ableitungsgedanke hat weit reichende Folgen und leitet auf informelle Art und Weise zu weiteren Bezeichnungen, die der Charakterisierung von Aufgaben dienlich sind. Vor allem die Herleitung einer solchen ist wieder eine Funktion: Sie weist jedem x die Herleitung von x an Position x zu und ist mit dem Zeichen für ft gekennzeichnet.

Der Wert der Funktionsweise an der Position x ist f (x), entsprechend der oben beschriebenen Rechtschreibung. In Abhängigkeit davon hat f' natürlich auch einen graphischen Aufbau. Es gibt wesentliche Beziehungen zwischen den Merkmalen einer funktionalen Struktur und den Merkmalen ihrer Anreicherung. In diesem Kapitel finden Sie Wörter wie Höhepunkt, Tiefe, Maximum, Minimal, Extrem und Drehpunkt und einen Bezug zum monotonen Verhalten einer bestimmten Aufgabe, auf die wir alle im Verlauf dieses Abschnitts stößt.

Ein besonders nützliches Beispiel für die Herleitung kommt aus der Physik: Wenn s(t) der Platz ist, an dem sich ein Organismus zum Zeitpunkt t befindet, kann seine Bewegungen durch den Graph der Funktionen s s(t) (die sogenannte Weltlinie) grafisch wiedergegeben werden. Wenn es sich um eine gleichmäßige Verschiebung handele, sei die Weltgerade eine Gerade und ihr Ansteigen sei die Zeitdauer.

Die Erhöhung der tangentialen zur Weltgeraden am Ort (t0, s(t0)), d.h. die Herleitung s'(t0), nennen wir die momentane Geschwindigkeit des Organismus zur Zeit t0. Da die Herleitung einer bestimmten Eigenschaft wieder eine Eigenschaft ist, können wir uns mit höheren Herleitungen befassen: Das Ableiten der f-Derivate wird als zweite Derivate mit dem Zeichen f'' gekennzeichnet. f''(x) ist die Zunahme der tangentialen Spannung an der Kurve von f' am Ort (x, f '(x)).

Ähnlich kann die dritte Variante f'''' in Betracht gezogen werden, etc. Das n-te Derivat wird ebenfalls als f (n) bezeichnet. Sie wird Ihnen viel später weiterhelfen, wenn Sie in der Lage sind, Grafiken von Funktions- und Ableitungsdiagrammen zu erfassen und zu korrelieren. Aus allen involvierten Funktionalitäten sind nur die Grafiken angegeben - Sie müssen nicht mehr darüber wissen.

Wir wollen nun ausrechnen, was wir im vorherigen Kapitel als Vorstellung entwickelt haben: die Erhöhung der Tangens zu einem Funktionsdiagramm. Hierzu wird zunächst generell davon ausgegangen, dass eine reale Funktionalität f und eine Position x0 angegeben sind und die Aufgabenstellung darin liegt, den Tangensanstieg am Diagramm am Punkt x0, f(x0) zu bestimmen.

Stufe 1: Wir rechnen zuerst den Höhenunterschied einer Schnittlinie, d.h. einer Linie, die den Verlauf von f in zwei Punkte kreuzt, zum einen an dem angegebenen Ort (x0, f(x0)) und zum anderen an einem benachbarten Ort (x0 + e, f(x0 + e)), wo der Betrag von e zunächst nicht genauer ist.

Das heißt, wir gehen von x0 ein Teil e nach rechts oder links (je nach Zeichen von e) und errechnen die Steigung der Linien durch die beiden Stellen des Diagramms, die wir in der nachfolgenden Zeichnung als P und Q: beschrieben wiedergeben. Weil Zählwerk und Nennwert nichts anderes sind als die Unterschiede in den Koordinatensätzen der Messpunkte P und Q, wird diese Grösse als Differenzquotient bezeichnet. e.

Es wird die Funktionsweise f(x) = x2 berücksichtigt und die Herleitung an der Position x0 = 2 berechnet. e= 5 + e . In Worte: Der Tangensanstieg an den Kurven der x x2-Funktion am Ort (3, 9) ist gleich sechs.

Die Rechnung ist nicht immer so simpel wie im Beispiel (3), aber wir werden im Folgenden einige Werkzeuge erlernen, die die Unterscheidung deutlich vereinfachen. Hinweise zur Begriffsbestimmung der Ableitung: Der bedeutendste Aspekt der Formulierung (2) ist der Grenzübertritt e 0. Wir haben ihn bisher so gekennzeichnet, dass "e Schritt für Schritt auf 0 zusteuert".

Weil e nichts anderes ist als die Abweichung der x-Koordinaten von P und Q, korrespondieren diese beiden Varianten mit den unterschiedlichen Wegen, wie Punkte Q der o.g. Skizze auf Punkte P gebracht werden können: Bei e ist der Wert Q in der Nähe von P. Bei e > 0 ist Q der Wert P. Bei e < 0 ist Q der Wert P. Für jede der vielen Methoden, um e Schritt für Schritt auf 0 zu bringen, ergibt sich eine Abfolge von Differenzquotienten.

Wenn in all diesen Anwendungsfällen immer der gleiche Wert resultiert, nennt man ihn die Abkürzung f'(x0), und wir rufen die Variable f "differenzierbar an Position x0" auf. Übrigens erhält der Ausdruck tangential zu einem Funktionsdiagramm (soweit er nicht zur Vertikalachse verläuft ) eine exakte Bedeutung: Es ist die Gerade mit Zunahme f'(x0) um den Mittelpunkt (x0, f'(x0)).

Mit der zweiten Taste rechts können Sie ein Beispiel für eine nicht differenzierbare Funktionalität (Betragsfunktion) aufzurufen. Wenn sich eine der Funktionen f an allen Punkten eines (offenen) Intervalles unterscheiden lässt, ist sie in diesem Bereich kontinuierlich. Wenn ihre Herleitung auch eine kontinuierliche Aufgabe ist, dann werden sie als "ständig differenzierbar" bezeichnet.

Allerdings können beispielhaft solche konstruiert werden, bei denen die Herleitung einer unterscheidbaren Funktionalität diskontinuierlich ist. Wir wollen weitere Betrachtungen zur Unterscheidbarkeit einer Aufgabe und zum Anschluss an die Kontinuität für das zweite Kapitel zur Unterscheidung beibehalten. e. write. Das heißt, die Herleitung der Funktionen x x2 ist die der Funktionen x ® 2x.

Im Bereich x > 0 (x < 0) ist der Wertanstieg im positiven (negativen) Bereich. Je höher der Wert von x, desto stärker die Steilheit. Schauen Sie sich die Grafik von f an (z.B. mit dem Funktionsplotter) und lassen Sie sich von diesen Werten überraschen! e= 3x2 + 3ex + e2 . trifft zu.

Das heißt, die Herleitung der Formel x x3 ist die Formel x 3x2 Die Herleitung ist niemals positiv. Aufgrund von f'(0) = 0 ist die tangentiale Achse des Diagramms an der Position x = 0 gleich der anderen. Überzeugen Sie sich in der Grafik von f (z.B. mit dem Funktionsplotter) von diesen Möglichkeiten!

Fallbeispiel 3: Schauen wir uns nun ein so einfaches Beispiel an, dass es tatsächlich nichts zu berechnen gibt: die Konstantenfunktion f(x) = c, bei der c eine gegebene und feste Anzahl ist. Der Differenzquotient ist in diesem Falle verschwunden, da für alle x und e f (x + e) - f(x) = c - c = 0. Da er nicht von e abhängig ist, wird der Grenzwert e 0 nicht gebildet und wir bekommen f '(x) = 0 (für alle x).

Das heißt: Die Herleitung der Konstantenfunktion x c ist diejenige von x ® 0. ("Die Herleitung einer Konstantenfunktion ist Null"). Dieses Ergebnis können wir auch in der Geometrie nachvollziehen, da der Verlauf der Konstantenfunktion eine Gerade ist, die zur x-Achse verläuft (d.h. mit einem Steigen von 0). Graphik, Schnitt und Tangens sind in diesem Falle gleich.

Exemplarisch sei als Beispiel eine generelle Linearfunktion (Funktion erster Ordnung) betrachtet, die durch einen Begriff der Formel f(x) = kx + d bestimmt wird, in der k und d angegeben und gehalten werden. In diesem Falle wird der Differenzquotient durch k (neu berechnen!) angegeben, so dass er (wie im vorherigen Beispiel) nicht von e abhängt, was f '(x) = k ergibt.

Das heißt: Die Herleitung der Linearfunktion x kx + d ist die Konstantfunktion x ® k. Das Diagramm unserer Linearfunktion ist eine Gerade mit Steigung k, weshalb Diagramm, Schnitt und Tangens gleich sind. Weil nicht jede Variablen mit dem Zeichen x gekennzeichnet ist, wird sie bei der Bildung der Herleitung mit dem Begriff "to" gekennzeichnet.

Vereinfacht ausgedrückt: f (x) ist die Abkürzung von f (x) nach x. Das Ableiten einer zu r (oder das Differenzieren zu r) bedeutet, die Herleitung einer zu r führenden Rolle zu erzwingen. Zum Beispiel ist die Herleitung von u3 nach u gleich 3u2 Der Differenzquotient bezogen auf die Ziffern x und x + e (Erhöhung der Sekante) wird gelegentlich in der Schreibweise Dy/Dx oder Df/Dx angegeben, mit Dx = e und Dy º Df = f(x + e) - f(x).

An den Grenzübergängen Sekante ® und Dx und Df sind beide auf 0 ausgerichtet, wobei der Quotent Df/Dx nach diesem Wechsel zum bedeutungslosen Begriff 0/0 wird. Die historische Entstehungsgeschichte der Differenzialrechnung stellte sich zunächst vor, dass Dx und Df "unendlich klein" werden würden, aber in einer Art und Weise, die die Bildung ihrer Quoten ermöglicht.

Diese" endlos kleinen" Mengen wurden als" dx" und" df" (oder" dy") genannt, und die Herleitung wurde einfach als den Quotienten df/dx oder" dy/dx" geschrieben. Man kann sich unter den Unterschieden die Katheterlängen eines Gradienten-Dreiecks so gering auslegen, dass der Abstand zwischen Sekunde und Tangens egal ist: s. Abbildung auf der rechten Seite. df ist die Veränderung des Funktionswertes, wenn sich das Parameter, d.h. der Betrag der abhängigen Variable, von der Position x beginnend um jeweils 3 x verändert.

Das Gradientendreieck ist um so kleiner der Unterschied zwischen dem Quotienten df/dx und der Herleitung - aber um einen genauen Begriff dafür zu erhalten, stellte man sich vor, dass es sich um ein "unendlich kleines" Gradientendreieck handele. Dank des heutigen Konzepts der Grenzwerte sind wir heute in der Lage, diese Sachen mathematischer zu präzisieren, aber bis heute wird die Herleitung Differenzquotient genannt, und auch die Notation hat in einem gewissen Sinne überdauert.

Als Beispiel sehen wir uns die Funktionen f(x) = x2 an und markieren die Koordinate in der Fläche, in der ihr Diagramm liegt. Danach werden - neben (6) und (8) - folgende Notationen (aus Gottfried Wilhelm von Leibniz) für die Herleitung verwendet dxx2= 2x .

Dies ist nützlich, um eine Funktionalität abzuleiten, deren Begriffsdarstellung mehrere Zeichen beinhaltet, z.B. wenn a für eine feste Anzahl (Konstante) steht: d(a3u2)/du = 2 a3u (was aus den nachfolgend zu diskutierenden Ableitungsvorschriften folgt). d2/dx2 ( "d-two-after-d-x-square") wird als Anforderung zur Bildung der zweiten Herleitung herangezogen.

Für letztere trifft man gelegentlich die Symbolnotation (d/dx)2 als Anforderung zur doppelten Unterscheidung an. Für die Bezeichnung der Derivate an einer Position, z.B. 0, ist die Notation f '(0) am besten geeignet. Die vertikale Linie | hat die Bezeichnung "an dieser Stelle" und wird als solche gesprochen. Der zweite Ableitungspunkt wird dann durch zwei Pünktchen (ausgesprochen "s-two-point") markiert.

Wegen der herausragenden Wichtigkeit des Konzepts der Herleitung in der heutigen mathematischen Welt, aber auch in anderen Bereichen wie der Physik, möchte man Vorschriften, die es ermöglichen, ohne großen Aufwand rasch zu differenzieren. Dabei ist c eine vorbestimmte Anzahl (d.h. eine Konstante), die Gesamtsumme x f(x) + g(x), das Erzeugnis x f(x)g(x), der Quotient x f(x)/g(x) und schliesslich die umgekehrte Funktionsweise zu f der inversen Funktionsweise, die wir in der Formel x( f) schreiben.

All diese Funktionalitäten lassen sich auf die von f und g zurückverfolgen, was die Unterscheidung verhältnismäßig einfach macht (was, wie wir weiter hinten erfahren werden, auch von einem Computerprogramm bewerkstelligt werden kann):

Im Sprachgebrauch der hohen Mathematik bringen sie zum Ausdruck, dass die Bildung der Derivate eine "lineare Operation" ist.

Der Differenzbetrag ist die Abweichung der Derivate: ( f(x) - g(x)) ' = f '(x) - g'(x). In der ersten Addition wird nur f unterschieden, in der zweiten nur g. ((2x + 3) (x2 + 4)))' = 2(x2 + 4) + (2x + 3) 2x, was durch Multiplikation weiter erleichtert werden kann.

Bei den in grüner Farbe angezeigten Begriffen handelt es sich um die jeweiligen Funktionsfaktoren, bei den in blauer Farbe angezeigten Begriffen um deren Derivate.

Auf der rechten Bildschirmseite gibt es zwei Faktoren: Der erste, nämlich die Formel F1 (g(x)), wird dadurch erzeugt, dass man zuerst die Herleitung der Formel F1 bildet (wenn man will, kann man die Formel F1 (f) eingeben und die Herleitung F1 (f) bestimmen: g f) und dann anstelle der Variablen den Begriff g(x) verwenden.

Diesen Umstand kann man auch (etwas beiläufig) als Derivat von f bis ü ausdrücken. Gelegentlich wird er auch als äussere Herleitung beschrieben (obwohl dieser Ausdruck in der oberen Mathematik eine andere Rolle spielt, die uns hier nicht interessiert). Die zweite, g'(x), die Abkürzung von x nach x, wird auch als inneres Derivat beschrieben, was seine Gliederung noch stärker betont.

Wenn f nur von x über e abhängt, ist die Herleitung von f nach x gleich dem Ergebnis der Herleitung von f nach e ( "g" wird als Variablen behandelt) und der Herleitung von f nach x. u'(x) = 2(5x2 + 3x) (10x + 3).

Herleitung der Inversfunktion (Inversfunktion): write, s. (9) für die Notation. Achten Sie darauf, dass das Zeichen f für die inverse Funktionsweise die eigenständige Variablenbezeichnung ist! Der Differenzenquotient der beiden Werte ist also der reziproke Wert des anderen. Natürlich arbeitet diese Konstruktionsweise nur dort, wo die Herleitung von f vorhanden ist und nicht gleich 0 ist.

Die Kurve der umgekehrten Funktionsweise von der Kurve von f ergibt sich durch Spiegeln am ersten Median (d.h. an der Kurve der gleichen Funktionsweise x ® x). Man unterscheidet die Rootfunktion f(x) = x1/2, deren Umkehrung durch x( f) = 2 wiedergegeben wird. Wir wissen bereits die Herleitung der Umkehrfunktion: dx/df = x'( w ) = 1.

Seien Sie nicht davon abgeschreckt, dass die jetzt zur Unterscheidung verwendete eigenständige Variablen f ! ist. Danach (15) ist die Herleitung der Root-Funktion df /dx = f'(x) = 1/(2f ) = 1/(2x1/2), wo wir im letzen Step wieder f = x1/2 setzen. Dank dieser sechs Ableitungsvorschriften können auch durch komplexe Begriffe gegebene Funktionalitäten vergleichsweise leicht unterschieden werden, sofern die Herleitungen der "Bausteine", aus denen sie sich zusammensetzen, bekannt sind.

Zur Unterscheidung der Funktionen x x4 haben wir vier Optionen, bei denen wir bereits die oben genannten Derivate (x2)' = 2x und (x3)' = 3x2 errechnet haben und daher davon ausgehen können, dass sie bekannt sind: Die Ableitung von Leistungsfunktionen werden wir im folgenden Kapitel besprechen, aber als Übung empfiehlt es sich, an dieser Stelle alle vier Verfahren zu berechnen und sich davon zu vergewissern, dass sie zum selben Resultat geführt haben.

Ein sehr nützliches Verfahren zur Berechnung von Derivaten, die so genannten impliziten Differenzierungen, muss auf ein höheres Niveau verschoben werden, da wir die dafür notwendige "partielle Ableitung" noch nicht wissen. In Verbindung mit den oben beschriebenen Ableitungsvorschriften stellt dieser Bereich die Werkzeuge zur Unterscheidung der wesentlichen mathematischen Funktionalitäten zur Verfügung.

Ein besonders schönes Ergebnis der Differenzberechnung ist, dass die Derivate aller Leistungsfunktionen durch eine einzelne Gleichung wiedergegeben werden: Sie können mit einer einzigen Gleichung dargestellt werden: Zum Beispiel ist die Root-Funktion x x1/2 für alle x 0 festgelegt, während ihre Herleitung x (1/2) x-1/2 nur für x > 0 festgelegt ist.

Bei Position 0 ist die Herleitung von x1/2 offenbar nicht festgelegt (weil der Begriff x-1/2 auf den bedeutungslosen Begriff 1/0 für x = 0 verringert wird). Die Ursache hierfür ist der Grafik der Root-Funktion zu entnehmen: An diesem Punkt hat er eine ("vertikale") Paralleltangente zur y-Achse, für die kein (endlicher) Aufstieg eindeutig festgelegt werden kann.

Bei der Differenzierung wird seine spezielle mathematische Aussagekraft deutlich: Die exponentielle Funktion mit Base 11 ist mit ihrer Derivation identisch: Dies zeugt auch von der hervorragenden Position der Ziffer e: Selbst wenn man sich entscheidet, sie nicht zu beobachten, tritt der Naturlogarithmus (d.h. der logarithmische zu Base 11) in dieser Gleichung völlig selbsttätig auf!

Eine weitere Angabe zur Aussagekraft der Euler' schen Ziffer e leitet sich aus dem Naturlogarithmus ab: Da die logarithmische Angabe für Negativargumente nicht festgelegt ist, wird gelegentlich stattdessen die Angabe x ® ln |x| berücksichtigt. Er ist für alle x 0 festgelegt, und seine Herleitung ist auch 1/x.

Die in diesem Kapitel angegebenen Herleitungen und die oben beschriebenen Herleitungsregeln sollten es ermöglichen, die meisten terminologisch definierten Funktionalitäten, besonders Polynom- und Rationalfunktionen, zu unterscheiden. Fallbeispiel 2: Frage: Nach welchen Kriterien wurde diese Herleitung berechnet? Einige andere Funktionalitäten, die unter dem Gesichtspunkt der Differenzierung mehr Aufmerksamkeit benötigen, werden im zweiten Differenzierungskapitel behandelt.

Liegt die Herleitung einer der Funktionen f an jedem beliebigen Ort eines Intervalles vor und ist eine positive (negative), dann ist f in diesem Bereich strikt monoton steigend (fallend). Das macht Sinn, da die tangentiale Lage am Diagramm an jeder Stelle zunimmt (abnimmt), und wir auf formale Beweise verzichtet haben.

Wenn der Ableitungswert innerhalb eines Intervalles für x x0 und f'(x0) = 0 ist, dann bedeutet der Wert für die maximale Stelle vor Ort 0x0. Die korrespondierende Stelle (x0, f(x0) im Diagramm wird als Höhepunkt bezeichnet. Wenn der Ableitungswert innerhalb eines Intervalles für x x0 und f'(x0) = 0 ist, dann bedeutet der Wert für die minimale Stelle vor Ort 0x0.

Die korrespondierende Spitze (x0, f(x0) im Diagramm wird als Tiefstpunkt bezeichnet. Die Kurve hat an den korrespondierenden Stellen eine waagerechte Berührungslinie (Anstieg 0). Die Ergänzung "lokal" bedeutet, dass der Wert der Funktionen an der betreffenden Position grösser (kleiner) ist als an allen (ausreichend nahen) benachbarten Positionen. Deshalb kann eine Prüffunktion mehrere örtliche Extrempositionen (mit denselben oder verschiedenen Funktionswerten) haben.

Die Hoch- und Tiefpunkte sind im übertragenen Sinne die lokalen Gipfel und die Täler der Grafik. Anmerkung: Wenn eine dieser Funktionen nicht für alle Reelle Werte festgelegt ist, können auch an den Rändern ihres Definitionsbereiches örtliche Extreme auftauchen. Die Herleitung muss dort jedoch nicht 0 sein. Zum Beispiel wird die Funktionsweise, deren Grafik auf der rechten Seite angezeigt wird, im (blau markierten) geschlossenen Intervall[a, b] festgelegt.

Danach hat er ein örtliches Maximal am rechten und rechten Rand a und b und ein örtliches Minimal an Position c innerhalb des Zeitintervalls. Der Tangentenwert an den Kanten ist nicht 0, da die Kanten nicht waagerecht sind.

Wenn Sie nach den Extremen einer bestimmten Funktionalität suchen, sollten Sie daher immer die Gefahr in Betracht ziehen, dass sich einige an den Rändern des Definitionsbereiches aufhalten. Zum Beispiel verschwinden die Ableitungen der Funktionen x x3 an der Position x0 = Null. x0 = Null in der Grafik (z.B. mit dem Funktionsplotter)!

Ein solcher Wert wird Saddle Point genannt (und der korrespondierende Wert in der Grafik wird Saddle Point genannt) die Formel f'(x0) = 0 kann man auflösen. Im Abschnitt über die Anwendung der Differentialrechnung werden wir dieses Problem wieder aufgreifen. Wenn die Funktion f selbst wieder eine Derivate hat (die zweite Derivate f''), wird ein lokaler Extrempunkt von f' als Drehpunkt von f genannt, der korrespondierende Knoten in der Grafik von f wird als Drehpunkt bezeichne.

Bei einem Drehpunkt f'''(x0) = Null hat die Herleitung f' ein örtliches Maximal (Minimum), d.h. an den Stellen x in der Nähe von ?0 ist f'(x) kleiner (größer) als f'(x0). Im übertragenen Sinne: An einem Drehpunkt ist die Grafik "steilster" oder "am geringsten steiler".

Seinen Namen verdankt er der Tatsache, dass sich die darauf befindliche Berührungslinie von einer der beiden Seiten des Diagramms zur anderen "dreht". Der Tangens am Drehpunkt wird daher auch als Drehtangens bezeichnet. Kandidat für Drehpunkte einer bestimmten Funktionalität f sind die Lösungsansätze der Formel f''(x0) = 0 (d.h. die Nummern x0, für die f ''(x0) = 0 gilt).

Wenn ein solcher Wert in der Tat ein Drehpunkt ist, ist f '(x0) die Erhöhung der Drehtangente. Wenn sich x um den Wert f verändert, wird f um etwa f'(x0) geändert. Als Differenzquotient (1) kann die durchschnittliche Veränderungsrate im Intervall[x0, x0+e] gedeutet werden.

Die Veränderungsrate an einem Punkt ist in diesem Sinne der Grenzbereich der durchschnittlichen Veränderungsrate für die auf 0 abzielende Abstandsgröße. Bei einer linearen Kennlinie f (deren Diagramm eine Linie ist) ist (28) das Vorzeichen. Dies beleuchtet das Konzept der Herleitung weiter: Es ergibt sich aus der Vorstellung, eine bestimmte Funktionalität an einem Punkt durch eine Linearfunktion (deren Diagramm eine Linie ist) optimal zu nähern.

Als Änderungsgeschwindigkeit einer bestimmten Aufgabe wird die Änderungsgeschwindigkeit dieser "bestmöglichen" Linearfunktion bezeichnet (oder, in Geometrie übersetzt: als Erhöhung der Tangens zum Graphen). Es wird die Funktionalität f(x) = x2- x berücksichtigt. Bei Position x0 = 3 hat er den Wert 7, d.h. f(3) = 5. Aufgabe: Mit (28) wird f(3. 001) ungefähr berechnet!

Es wird die Herleitung f'(x) = 2x - 1 berechnet, also f'(3) = 4 Jetzt wechselt das Parameter von 1 zu 3,001, d.h. um Dx = 0,001 Mit (28) der zugehörigen Funktionswertänderung zu Df " 6 0,001, resultierend in: f(3. 001) " 6 + 6 x 0,001 = 6,005. Ein Hinweis auf die Bezeichnungsrate.

Acceleration (die zweite Herleitung des Platzes nach der Zeit) ist die (zeitliche) Geschwindigkeitsänderung. Zur Unterscheidung einer term-definierten Funktionalität müssen nur die Derivate ihrer Komponenten bekannt sein. um die tangentiale Komponente auf einem Funktionsdiagramm zu platzieren, um die Diagramme von f (x), f '(x) und f ''(x) darzustellen. Beim Differenzierungslehrer und bei der Auswertung von Derivaten wird die Verwendung der Ableitungsregeln für die von Ihnen eingegebenen Funktionalitäten schrittweise nachvollzogen.

Trotz dieser Hilfsmittel sollten Sie jedoch die manuelle Unterscheidung ein wenig trainieren, damit Sie wissen, was diese Hilfsprogramme tun. Eine Vielzahl von Verfahren der heutigen mathematischen Forschung (und die meisten Anwendungsbereiche, insbesondere die Physik) basieren auf der Differenzialrechnung. Im Mittelpunkt eines Kapitels zur Anwendung der Differenzialrechnung stehen Verfahren zur Funktionsanalyse ("Kurvendiskussion"), zum Finden von Extrempositionen ("Extremwertaufgaben") und zum Lösungsansatz von Formeln.

Mithilfe der Differenzialrechnung ist es möglich, eine Annäherung der Funktionalität als "Leistungsreihe" vorzunehmen. In dem zweiten Kapitel zur Differenzierung werden die Theorie der Unterscheidbarkeit von Funktionalitäten und deren Herleitung formuliert und weiterentwickelt. Es können auch mehrere Funktionalitäten in mehreren Größen unterschieden werden. Errechnen Sie die Herleitung der Formel f (x, y) = x2- y2 bis x (d.h. y als konstant behandeln)!

Sie haben nun eine teilweise Herleitung errechnet. Existiert eine solche Formel, deren Derivat gleich ihrem Rechteck ist, d.h. für die f'(x) = f (x)2 ist? Falls Sie es schaffen, eine zu bekommen (es ist nicht so schwierig mit einem kleinen Versuch und Irrtum), haben Sie eine Differenzialgleichung gefunden. Darüber hinaus ist die Differenzialrechnung die Basis für weitere Bereiche der mathematischen Forschung, vor allem für die integrale Berechnung, die in gewissem Sinne eine "Fortsetzung" ist.